[Causal Inference] 동시성(simultaneity)과 역인과성(reverse cauality)

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동시성 (Simultaneity)

 

연립방정식 문제(simultaneous equations problem)라고도 한다. 이는 한 모델 내에서 설명변수로 취급하는 변수가 실제로는 그 모델의 종속변수와 동시에 결정되는, 즉 변수들간 인과관계가 상호작용할 때 발생하는 문제이다. 이는 설명변수가 사실 내생적(endogenous)일 수 있다는 것을 의미한다.

가장 대표적인 예가 수요·공급 모형이다. 예를 들어 수요함수가 다음과 같다고 하자.

$$ q^d = \beta_0 + \beta_1 p + \beta_x x + \epsilon_d $$

여기서 $ q^d $ 는 수요량이고, $ p $ 는 가격, $ x $ 는 그 밖의 수요결정 요인, $ \epsilon_d $ 는 수요측 충격을 의미하는 오차항이다. 이때 OLS 추정이 가능하려면 외생성 조건인 다음을 만족해야 한다.

$$ E(p \epsilon) = 0 $$

그러나 현실에서 가격 $ p $ 는 단순히 시장 바깥에서 주어지는 외생 변수가 아니라 수요와 공급이 동시에 작용하는 시장 매커니즘을 통해 내생적으로 결정된다. 예를 들어 수요측에서 $ \epsilon_d $ 가 증가하면 수요곡선이 오른쪽으로 이동하며 가격 $ p $ 가 상승한다. 즉 $ q^d $ 가 $ p $ 에 영향을 준다. 따라서 외생성 조건은 성립하지 않을 가능성이 높고, 이는 OLS를 통한 추정에서 편향(bias)를 발생시킨다.

공급함수를 다음과 같이 생각해보자.

$$ q^s = \gamma_0 + \gamma_1 p + \gamma_z z + \epsilon_s $$

여기서 $ q^s $ 는 공급량이고, $ p $ 는 가격, $ z $ 는 그 밖의 수요결정 요인, $ \epsilon_d $ 는 공급측 충격을 의미하는 오차항이다. 수요곡선과 마찬가지로 문제가 발생한다.

 

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역인과성 (Reverse Cauality)

 

인과관계가 반대로도 있는 경우에 발생하는 문제이다. 예를 들어서 케인즈 소비함수는 다음과 같다.

$$ C_i = \beta_0 + \beta_1 Y_i + e_i $$

여기서 $ C_i $ 는 소비, $ Y_i $ 는 소득, $ \beta_1 $ 은 한계소비성향이다. 그러나 동시에 국민소득 항등식에서는 다음과 같은 관계도 성립한다.

$$ Y = C + I + G + NX $$

$ Y $ 는 소득, $ C $ 는 소비, $ I $ 는 투자, $ G $ 는 정부지출, $ NX $ 는 순수출이다. 즉 소비는 소득에 영향을 받고, 소득 역시 소비에 영향을 받는다.

따라서 이를 단순히 소비는 소득에 $ \beta_1 $ 만큼 영향을 받는다고 말하기 어렵고, 단순 OLS로 추정하였을 때 편향이 생긴다.

동시성이 여러 방정식이 동시에 존재할 때 생기는 문제라면 역인과성은 $ X \to Y $ 의 방향만 고려했는데, 사실 $ Y \to X $ 방향 인과도 동시에 존재하여 양방향 인과관계가 생기는 상황에서의 문제이다.

역인과성의 다른 예로 경찰관 수와 범죄율이 있다. 경찰관 수를 늘리면 범죄율이 낮아질 것이라는 것은 쉽게 생각할 수 있다. 그러나 사실 범죄율이 높다면 경찰관 수를 증가시키는 것이 행정적으로 당연하리라는 것도 생각할 수 있다.

결국 역인과성은  OLS의 가정인 독립변수가 오차항과 독립이어야 한다는 것을 만족하지 못한다. 즉 $ X $ 와 $ \epsilon $ 이 상관관계를 가지게 되고, 이는 OLS를 통한 추정이 불편성(unbiasedness), 일치성(consistency)을 만족하지 못하게 되는 것이다.