[Basic Mathematics] 수 체계와 대수적 구조의 기본 성질

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수 체계 표

 

복소수 $ \mathbb{C} $
실수 $ \mathbb{R} $				허수 $ \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $
유리수 $ \mathbb{Q} $			무리수 $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $
정수 $ \mathbb{Z} $		정수가 아닌 유리수 $ \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} $
범자연수 $ \mathbb{N_0} $	음의 정수 $ \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} $
$ \mathbb{0} $

 

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대수적 구조의 기본 성질

 

• 교환법칙 (Commutative Property)

두 요소를 결합할 때 그 순서가 바뀌어도 결과가 동일한 성질이다.

예를 들어 덧셈의 교환법칙 $ a+b=b+a $ 와 곱셈의 교환법칙 $ a \times b = b \times a $ 가 있다.

 

• 결합법칙 (Associative Property)

세 요소를 결합할 때 결합하는 순서에 관계없이 결과가 동일한 성질이다.

예를 들어 덧셈의 결합법칙 $ (a+b)+c =a+(b+c) $ 와 곱셈의 교환법칙 $ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $ 가 있다.

 

• 분배법칙 (Distributive Property)

곱셈이 덧셈이나 뺄셈에 대해 분배되는 성질이다.

예를 들어 곱셈이 덧셈에 대해 분배되는 분배법칙 $ a \times (b+c) = a \times b + a \times c $ 가 있다.

 

• 항등원 (Identity Element)

어떤 연산에서 어떤 요소와 결합해도 그 요소가 변하지 않는 원소이다.

예를 들어 덧셈의 항등원은 $ 0 $ 이다. $ a + 0 = a $ 를 통해 확인할 수 있다. 곱셈의 항등원은 $ 1 $ 이다. $ a \times 1 = a $ 를 통해 확인할 수 있다.

 

• 역원 (Inverse Element)

어떤 요소와 결합했을 때 항등원을 만드는 원소이다.

예를 들어 덧셈에서의 역원은 $ a $ 에 대해 $ -a $ 이다. $ a + (-a) = 0 $ 을 통해 확인할 수 있다. 곱셈에서의 역원은 $ a $ 에 대해 $ \dfrac{1}{a} $ 이다. $ a \times \dfrac{1}{a} = 1 \text{ } \{ a \neq 0 \} $ 를 통해 확인할 수 있다.