계절성 (Seasonality)
시계열 자료가 주기적 패턴을 띠면 이를 계절성이라 한다. 월별, 혹은 주별, 혹은 요일별 등으로 자료를 확인할 때 주로 나타나며, 이를 표현하는 방법 중 하나가 가법 모델(additive model)이다.
$$ y_t = S_t + N_t $$
여기서 $ S_t $ 는 주기가 $ s $ 인 결정적 성분(deterministic component)이고, $ N_t $ 는 확률적 성분(stochastic component)이다. 확률적 성분은 보통 ARMA 모델로 설명할 수 있다. 즉 $y_t $는 예측 가능한 주기적 움직임 $ S_t $ 에 노이즈 $ N_t $ 가 더해진 형태로 볼 수 있다.
$ S_t $ 가 결정적이며 주기 $ s $ 를 가지므로 다음과 같이 후방이동 연산자(backshift operator) $ B $ 를 이용해 나타낼 수 있다.
$$ S_t = S_{t+s} \quad \Longrightarrow \quad S_t - S_{t-s} = (1-B^s)S_t = 0 $$
$ y_t $ 를 이를 통해 나타내면 다음과 같다.
$$ \underbrace{(1 - B^s) y_t}_{\equiv w_t} = (1-B^s)S_t + (1-B^s)N_t $$
따라서 다음과 같다.
$$ w_t = (1-B^s)N_t $$
여기서 $ w_t $ 는 계절 차분(seasonal differencing) 후 얻어지는 계절 정상 과정(seasonally stationary process)이다.
$ N_t $ 를 ARMA 모델로 설정하면 일반적으로 다음과 같다. 이때 오차 $ \epsilon_t $ 는 화이트 노이즈(white noise)라 가정한다.
$$ \Phi(B) w_t = (1-B^s) \Theta(B) \epsilon_t $$
혹은 $ S_t $ 자체를 확률 과정으로 볼 수도 있다. 계절 차분 $(1-B^s) $ 을 한 뒤에도 계절시차 $ s, 2s, \cdots $ 에 강한 상관이 남을 수 있는데, 이를 반영한 계절 ARMA 모델은 다음과 같다.
$$ (1 - \phi_1^* B^s - \phi_2^* B^{2s} - \cdots - \phi_P^* B^{Ps} ) w_t = (1- \theta_1^* B^s - \theta_2^* B^{2s} - \cdots - \theta_Q^* B^{Qs} ) \epsilon_t $$
더 일반적으로 차수가 $ (p, d, q) \times (P, D, Q)s $ 인 계절 ARIMA 모델은 다음과 같다.
$$ \Phi^* (B^s) \Phi(B)(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = \delta + \Theta^*(B^s) \Theta(B)\epsilon_t $$
실제 응용에서 $ P $, $ D $, $ Q $ 는 보통 $ 1 $ 을 넘지 않는다.
