[Time Series Analysis] 계절성을 가지는 시계열에 대한 지수평활법

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가법 계절 모델 (Additive Seasonal Model)

 

일부 시계열 모델은 계절성을 가지며 이는 기본적인 다항식 모델로는 설명 불가능하다. 이는 지수평활법을 이용할 때도 마찬가지로 이를 극복하기 위해 가법 계절 모델과 승법 계절 모델이 사용된다.

다음과 같은 계절성을 가지는 시계열 모델을 가정하자.

$$ y_t = L_t + S_t + \epsilon_t $$

여기서 $ L_t $ 는 수준 또는 선형 추세로 $ L_t = \beta_0 + \beta_1 t $ 와 같이 기존 모델로 표현 가능하다. $ S_t $ 는 계절적 보정(seasonal adjustment)을 나타내며 각 시즌(season)마다 동일한 값을 가진다. $ \epsilon_t $ 는 평균이 $0$, 분산이 $ \sigma_\epsilon^2 $ 으로 일정한 오차이다.

여기서 다음을 가정하자.

$$ \sum_{t=1}^s S_t = 0 $$

$ s $ 는 주기의 길이이다. 즉 모든 계절 보정치의 합은 $ 0 $ 이라 하자.

이제 1차 지수평활법을 서로 다른 할인계수(discount factor)로 적용하여 $ L_t $, $ \beta_1 $, $ S_t $ 를 추정하게 된다. 시점 $ T $ 에서 새로운 관측값 $ y_T $ 가 들어왔다고 할 때 파라미터 추정치를 갱신하는 단계는 다음과 같다.

먼저 수준을 갱신하는 것인데, 다음과 같다.

$$ \hat{L}_T = \lambda_1 ( y_T - \hat{S}_{T-s} ) + ( 1 + \lambda_1) ( \hat{L}_{T-1} + \hat{\beta}_{1, T-1}) $$

여기서 $ 0 < \lambda_1 < 1 $ 이다. 위 식의 첫번째 항은 현재 시점에서의 실제 수준을 의미하고, 두번째 항은 $ T-1 $ 시점에서 추정한 수준의 예측값으로 볼 수 있다.

이제 추세 기울기 $ \beta_1 $ 을 갱신한다.

$$ \hat{\beta}_{1, T} = \lambda_2 (\hat{L}_T - \hat{L}_{T-1}) + (1 - \lambda_2) \hat{\beta}_{1, T-1} $$

당연히 $ 0 < \lambda_2 < 1 $ 이다. 위 식은 현재 시점에서 새롭게 계산된 기울기와 이전 시점에서의 기울기의 추정치를 가중 평균하고 있다.

이제 계절 보정치를 갱신한다.

$$ \hat{S}_T = \lambda_3 (y_T - \hat{L}_T) + (1 - \lambda_3) \hat{S}_{T-s} $$

역시 $ 0 < \lambda_3 < 1 $ 이다.

이제 $ \tau $-스텝 뒤를 예측하자.

$$ \hat{y}_{T+\tau}(T) = \hat{L}_T + \hat{\beta}_{1, T} \tau + \hat{S}_T ( \tau - s) $$

즉 시점 $ T $ 에서 $ \tau $ 만큼 미래를 내다보는 예측값이다.

역시 지수평활법을 이용하므로 초기값(initial values) 설정이 중요하다. 과거 시점의 자료가 $ n $ 개의 시즌, 즉 총 $ n \times s $ 개의 관측값으로 구성되어 있다고 가정하자. 이때 다음과 같은 선형회귀식을 적합한다.

$$ y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \sum_{i=1}T{s-1} \gamma_i (I_{t, i} - I_{t, s}) + \epsilon_t $$

이렇게 $ \beta_0 $, $ \beta_1 $, $ \gamma_i $ 를 구했다면 그 결과를 이용하여 모델의 초기값을 설정할 수 있다. 여기서 $ I_{t, i} $ 는 다음과 같다.

$$ I_{t, i} = \begin{cases} 1, & \quad ( t = i, i +s, i + 2s, \cdots ) \\ 0 , & \quad \text{otherwise} \end{cases} $$

 

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승법 계절 모델 (Multiplicative Seasonal Model)

 

만약 계절 패턴의 진폭이 시계열 평균 수준과 비례(proportional) 관계를 보인다면 가법 계절 모델보다는 승법 계절 모델이 적합하다. 이는 다음과 같다.

$$ y_t = L_t S_t + \epsilon_t $

역시 $ L_t $ 는 영구(permanent) 성분, $ S_t $ 는 계절적 보정 요인, $ \epsilon_t $ 는 오차이다. 여기서 $ S_t $ 에 대해선 다음과 같은 가정이 있다.

$$ \sum_{t=1}^s S_t = s $$

즉 한 시즌의 전체 보정 요인을 합하면 $ s $ 가 된다는 제약이다.

여기서는 다음과 같은 지수평활법을 적용하여 $ L_t $, $ \beta_1 $, $ S_t $ 를 추정한다.

먼저 수준을 갱신한다.

$$ \hat{L}_T = \lambda_1 \frac{y_T}{\hat{S}_{T-s}} + ( 1 = \lambda_1) (\hat{L}_{T-1} + \hat{\beta}_{1, T-1} $$

그리고 추세 기울기를 갱신한다.

$$ \hat{\beta}_{1, T} = \lambda_2 (\hat{L}_T - \hat{L}_{T-1}) + ( 1 - \lambda_2) \hat{\beta}_{1, T-1} $$

그리고 계절 보정치를 갱신한다.

$$ \hat{S}_T = \lambda_3 \frac{y_T}{\hat{L}_T} + (1 - \lambda_3) \hat{S}_{T-s} $$

이제 $ \tau $ 스텝 뒤를 예측하자

$$ \hat{y}_{T+\tau}(T) = (\hat{L}_T + \hat{\beta}_{1, T} \tau ) \hat{S}_T (\tau - s) $$

역시 $ n $ 개의 시즌이 주어져 $ n \times s $ 개의 데이터가 있을 때 다음과 같이 시작점을 설정할 수 있다.

$$ \hat{L}_0 = \beta_{0, 0} \cdots $$