[Regression Analysis] 반복측정(repeated measure) 분산분석

---

반복측정 분산분석

 

각 $ x_i $ 의 수준에서 $ n _i $ 개의 반복적인 데이터가 있는 경우 적합결여검정(참고링크)과 유사하게 다음과 같이 모형을 만들고 검정해야 한다.

$$ y_{ij} = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_{ij}, \qquad ( \epsilon \sim N(0, \sigma^2) )$$

여기서 $ i = 1, 2, \cdot, k $ 는 각 $ x $ 값에 대한 것이고, $j = 1, 2, \cdot, n_i $ 는 $ x_i $ 에서의 $ y $ 관측값에 대한 것이다.

이제 분산분석에 필요한 $SSE $, $ SSR $, $ SST $ 를 구하기 위해 $ \bar{x} $ 와 $ \bar{y} $ 에 대해 다음과 같이 정의하자.

$$ \bar{y} = \frac{\sum_{i}\sum_{j}y_{ij}}{\sum_{i} n_i} $$

$$ \bar{x} = \frac{1}{\sum_i n_i} \sum_i (n_i x_i) $$

이를 이용하여 $ SST $, $ SSR $, $ SSE $ 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ SST = \sum_i \sum_j (y_{ij} - \bar{y})^2 $$

$$ SSR = \frac{\left(\sum_i \sum_j (x_i - \bar{x})(y_{ij} - \bar{y}) \right)^2}{\sum_i \sum_j (x_i - \bar{x})^2} $$

$$ SSE = SST - SSR $$

그리고 이를 활용하여 다음과 같이 분산분석표를 작성할 수 있다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$ F_0 $
회귀	$ SSR $	$1 $	$ MSR $	$ F_0 = MSR / MSE $
잔차	$ SSE $	$ n-2 $	$ MSE $
계	$ SST $	$ n - 1$

그리고 모형은 다음과 같이 추정할 수 있다.

$$ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum_i \sum_j (x_i - \bar{x})(y_{ij} - \bar{y})}{\sum_i \sum_j (x_i - \bar{x})^2} , \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} $$

즉 분산분석 결과 유의미하다고 판별되면 위 식을 이용하여 회귀식을 추정할 수 있다고 말할 수 있다.