확률변수 함수의 기댓값
일변량 확률변수의 함수의 기댓값을 구할 수 있듯이 다변량 확률변수의 함수 역시 기댓값을 구할 수 있다.
- 이산확률변수의 함수
$ g(X_1, X_2, \cdots, X_n) $ 이 확률변수 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 의 함수이며 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 이 이산확률변수이고 $ p(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 의 결합확률함수를 가진다면 기댓값은 다음과 같다.
$$ E\left[ g(X_1, X_2, \cdots, X_n) \right] = \sum_{\forall x_n} \cdots \sum_{\forall x_2} \sum_{\forall x_1} g(x_1, x_2, \cdots, x_n) p(x_1, x_2, \cdots, x_n) $$
- 연속확률변수의 함수
$ g(X_1, X_2, \cdots, X_n) $ 이 확률변수 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 의 함수이며 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 이 연속확률변수이고 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 의 결합밀도함수를 가진다면 기댓값은 다음과 같다.
$$ E\left[ g(X_1, X_2, \cdots, X_n) \right] = \int_{- \infty}^{\infty} \cdots \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} g(x_1, x_2, \cdots, x_n) \times f(x_1, x_2, \cdots, x_n) dx_1 dx_2 \cdots dx_n $$
성질
기존 일변량 확률변수의 함수와 비슷한 성질을 가진다. $ c $ 를 상수라 하고 $ X_1, X_2 $ 를 확률변수라 하며, 두 확률변수의 함수 $ g_1(1X_1, X_2), g_2(X_1, X_2), \cdots, g_n(X_1, X_2) $ 를 가정하면 다음이 성립한다.
- $ E(c) = c $
- $ E\left[ cg_1(X_1, X_2) \right] = c E \left[ g_1 (X_1, X_2) \right] $
- $ E\left[ g_1(X_1, X_2) + g_2(X_1, X_2) + \cdots + g_n(X_1, X_2) \right] $ $ = E \left[ g_1 (X_1, X_2) \right] + E \left[ g_2 (X_1, X_2) \right] + \cdots + E \left[ g_n (X_1, X_2) \right] $
만약 $ X_1, X_2 $ 가 독립이고 $ g(X_1) $ 과 $ h(X_2) $ 가 각 $ X_1 $, $X_2 $ 의 함수이며 기댓값이 존재한다면 다음이 성립한다.
- $ E\left[ g(X_1) h(X_2) \right] = E\left[ g(X_1) \right] E\left[ h(X_2) \right] $
연속 확률변수인 경우에 대한 증명이다.
$ f(X_1, X_2) $ 를 $ X_1 $, $X_2 $ 의 결합밀도함수라 하면 곱 $ g(X_1) h(X_2) $ 는 $ X_1 $, $ X_2 $ 의 함수이고, 따라서 $ X_1 $ 과 $ X_2 $ 가 독립이라면 가정하에 다음이 성립한다.
$ E \left[ g(X_1) h(X_2) \right] = \int_{- \infty} ^{\infty} \int_{- \infty} ^{\infty} g(x_1) h(x_2) f(x_1, x_2) dx_2 dx_1 $
$ = \int_{- \infty} ^{\infty} \int_{- \infty} ^{\infty} g(x_1) h(x_2) f_1(x_1) f_2(x_2) dx_2 dx_1 $
$ = \int_{- \infty} ^{\infty} g(x_1) f_1(x_1) \left[ \int_{- \infty} ^{\infty} h(x_2) f_2(x_2) dx_2 \right] dx_1 $
$ = \int_{- \infty} ^{\infty} g(x_1) f_1 (x_1) E\left[ h(X_2) \right] dx_1 $
$ = E\left[ h(X_2) \right] \int_{- \infty} ^{\infty} g(x_1) f_1 (x_1) dx_1 $
$ = E\left[ g(X_1) \right] E\left[ h(X_2) \right] $
