에르고딕 이론 (Ergodic Theory)
에르고딕 가설은 보존적 열역학계에서 장기적으로 관측한 어떤 물리량의 시간 평균이, 해당 계의 전체 상태 공간에서의 공간 평균과 일치할 것이라는 가설이다. 이 성질을 간단하게 에르고딕성이 성립한다고 표현한다.
이 개념을 직관적으로 설명하기 위해 자주 사용하는 것이 당구대 비유로 1963년 수학자 야코프 시나이의 일명 역학적 당구(dynamical billiards) 비유이다. 당구대의 벽이 완전 탄성 반사를 제공하고 당구공이 에너지 손실 없이 일정한 속도로 움직인다고 가정하자. 당구대의 모양이 복잡하거나 비대칭적인 경우, 거의 모든 초기 조건에서 당구공의 경로는 시간이 지남에 따라 당구대의 거의 모든 부분을 방문하게 된다. 이는 시간 평균이 공간 평균과 일치함을 시각적으로 보여준다. 물론 직사각형 당구대 등 몇몇 모양에서는 한 루프만 돌 가능성이 있지만, 거의 모든 경우에 당구공은 모든 지점을 지나지 않을까 하는 추측은 해볼 수 있다.
현재 많은 체계들이 에르고딕성을 띤다고 증명되어 있다. 시나이 자신도 역학적 당구를 소개하면서 자신이 구상한 시나이 당구대에서는 에르고딕성이 거의 모든 경우 성립함을 증명했다. 다만 에르고딕 가설 자체 증명은 실패했다.
에르고딕성 (Ergodicity)
어느 확률 프로세스의 확률변수의 장기적 평균이 결국 무조건부(unconditional) 평균과 같아지면 이를 에르고딕하다고 한다. 통계물리에서는 무조건부 평균을 앙상블 평균이라고 한다.
$$ \frac{1}{T} \sum X_t = E(X_t) $$
통계 이론을 증명할 때 가정으로 많이 사용된다. 장기적으로 CLT가 성립함을 보여주기 때문이다.
충분히 긴 정상상태 과정에서 앙상블 평균, 즉 통계적 평균과 시간 평균이 같기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ \underbrace{E(X^n) = \bar{X^n} = \int_{-\infty}^\infty x^n f_X(x) dx}_{\text{Ensemble Average}} = \underbrace{\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-\infty}^\infty x^n(t) dt}_{\text{Time Average}} $$
이를 활용하면 시스템의 상태변화를 굳이 시간적으로 따라갈 필요없이 시간 독립적으로 정상상태과정(stationary process)만을 고려하는 것이 가능해진다.
