[Inferential Statistics] 적률법(method of moments)

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적률법(Method of Moments)

 

$ k $ 차 모적률과 $ k $ 차 표본적률을 일치시켜 모수를 추정하는 방법이다.

$ k $ 차 적률($k$ th moment) 또는 $ k $ 차 모적률은 $ \mu_k^\prime = E(X^k) $ 이다. 엄밀하게는 $ k $ 차원(점) 적률($k$ th moment about the origin)이다.

$ k $ 차 표본적률($k$ th sample moment about the origin)은 $ m_k^\prime = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k $ 이다.

추정해야 하는 모수의 개수를 $ t $ 라 할 때, 식 $ \mu_k^\prime = m_k^\prime $, $ k = 1, 2, \cdots, t $ 의 해가 되는 모수의 값을 추정값으로 선택하는 것이 적률법이다.

 

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적률법과 일치추정량

 

적률법으로 구한 추정량은 표본적율의 함수이다. 따라서 적률법으로 구한 추정량은 일반적으로는 일치추정량이다. 다시 확인하면 적률법은 큰수의 법칙을 이용하는 것인데, 큰수의 법칙은 확률수렴을 의미한다. 일치추정량 역시 확률수렴을 의미했다.

일반적으로는 적률법으로 구한 추정량이 일치추정량이지만 반드시 최선의 추정량인 것은 아니다. 종종 충분통계량이 아닐 수 있으며, 많은 경우 편향추정량이다. 그럼에도 사용이 쉽고 일치추정량을 얻을 수 있으며, 쓸만한 성질을 지닌 추정량을 제공한다는 장점이 있다.