분산에 대한 검정
기본적인 절차는 기존 가설검정과 동일하다. 단 모집단이 평균이 $ \mu $ 이고, 분산이 $ \sigma^2 $ 인 정규분포를 따른다는 기본 가정을 충족해야 한다.
이때 카이제곱분포를 이용하는데, 아래에서 $ \chi^2_\alpha $ 는 자유도가 $ n - 1 $ 인 카이제곱분포에 대하여 $ P(\chi^2 > \chi^2_\alpha ) = \alpha $ 인 $ \chi^2_\alpha $ 이다.
| 우측검정 (upper-tail test) |
양측검정 (two-tail test) |
좌측검정 (lower-tail test) |
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| 귀무가설 | $$ H_0 : \sigma^2 = \sigma^2_0 $$ | ||
| 대립가설 | $$H_a : \sigma^2 > \sigma^2_0 $$ | $$H_a : \sigma^2 \neq \sigma^2_0 $$ | $$H_a :\sigma^2 < \sigma^2_0 $$ |
| 검정통계량 | $$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0} $$ | ||
| 기각역 | $$ RR = \{ \chi^2 > \chi^2_\alpha \} $$ | $$ RR = \{ \chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2} \} \cup \{ \chi^2 > \chi^2 _{\alpha /2} \} $$ | $$ RR = \{ \chi^2 < - \chi^2_{1-\alpha} \} $$ |
등분산에 대한 검정
등분산에 대한 검정, 즉 두 분산이 같은지에 대한 검정도 분산에 대한 검정과 비슷하게 비교 대상인 두 모집단이 각각 평균이 $ \mu_1, \mu_2 $ 이고 분산이 $ \sigma^2_1, \sigma^2_2 $ 인 정규분포를 따른다는 가정을 충족해야 한다.
등분산에 대한 검정을 수행하기 위한 각각 표본의 수를 $ n_1, n_2 $, 각각의 표본분산을 $ S^2_1, S^2_2 $ 라 한다. 그렇다면 분산이 같다는 귀무가설은 $ H_0 : \sigma^2_1 = \sigma^2_2 $ 즉 $ H_0 : \frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2} =1 $ 이다.
대립가설을 $ H_a : \sigma^2_1 > \sigma^2_2 $ 라 설정하면 모분산의 추정량인 $ S^2_1, S^2_2 $ 를 이용하여 지정된 $ \alpha $ 를 만족하는 $ k $ 에 대해 다음과 같이 기각역을 설정할 수 있다.
$$ RR = \left\{ \frac{S^2_1}{S^2_2} > k \right\} $$
이때 $ (n_1-1)S^2_1 / \sigma^2_1 $ 과 $ (n_2-1)S^2_2 /\sigma^2_2 $ 은 독립인 $ \chi^2 $ 확률변수이므로 $ F $ 를 다음과 같이 설정하면 $ F $ 는 분자자유도가 $ n_1 - 1 $ 이고, 분모자유도가 $ n_2-1 $ 인 F-분포를 따른다.
$$ F = \frac{(n_1-1)S^2_1 / \sigma^2_1}{(n_2-1)S^2_2 /\sigma^2_2} = \frac{\sigma^2_2 S^2_1}{\sigma^2_1 S^2_2} $$
만약 귀무가설 $ H_0 $ 가 참이면 $ F = S^2_1 / S^2_2 $ 이며 기각역은 다음과 같다.
$$ RR = \{ F > k \} = \{ F > F_\alpha \} $$
참고로 $ F_\alpha $ 는 $ n_1 - 1 $ 과 $ n_2 - 1 $ 을 분자자유도 및 분모자유도로 갖는 $ P(F > F_\alpha ) = \alpha $ 인 F-분포 값이다.
참고로 $ H_a : \sigma^2_1 < \sigma^2_2 $ 로 설정하고 싶다면, 편의를 위해서 모집단 1 과 2 를 바꿔서 위 예시의 모양인 $ H_a : \sigma^2_1 > \sigma^2_2 $ 로 설정하는 것이 편리할 것이다.
| 단측검정 (one-tail test) |
양측검정 (two-tail test) |
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| 귀무가설 | $$ H_0 : \sigma_1^2 = \sigma^2_2 $$ | |
| 대립가설 | $$ H_a : \sigma^2_1 > \sigma^2_2 $$ | $$ H_a : \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2 $$ |
| 검정통계량 | $$ F = \frac{S^2_1}{S^2_2} $$ | |
| 기각역 | $$ RR = \{ F > F_\alpha \} $$ | $$ RR = \{ F < F_{1-\alpha/2} \} \cup \{ F > F_{\alpha / 2} \} $$ |
