[Inferential Statistics] 가능도(likelihood)

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가능도 (Likelihood)

 

우도라도고 한다. 이는 확률분포의 모수가 어떤 확률변수의 표집값과 일관되는 정도를 나타낸다. 구체적으로, 주어진 표집값에 대한 모수의 가능도는 이 모수를 따르는 분포가 주어진 관측값에 대하여 부여하는 확률로 다음과 같이 정의한다.

$ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 을 모수 $ \theta $ 에 종속인 분포를 갖는 확률변수 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 에 대한 관측 표본이라 하자. 그러면 만일 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 이 이산확률변수이면 표본의 가능도 $ L(x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta ) $ 는 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 의 결합확률로 정의된다. 만일 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 이 연속확률변수이면 표본의 간으도 $ L(x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta ) $ 는 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 에서 계산된 결합밀도로 정의된다.

예를 들어서 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 이 확률질량함수가 $ p(x \mid \theta) $ 인 이산분포를 가지면 다음과 같다.

$$ L ( x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta) = p(x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta) = p(x_1 \mid \theta) p(x_2 \mid \theta) \cdots p(x_n \mid \theta) $$

혹은 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 이 확률밀도함수가 $ f(x \mid \theta) $ 인 연속분포를 가지면 다음과 같다.

$$ L ( x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta) = f(x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta) = f(x_1 \mid \theta) f(x_2 \mid \theta) \cdots f(x_n \mid \theta) $$

종종 $L ( x_1, x_2, \cdots, x_n \mid \theta) $ 대신 $ L(\theta) $ 로 표기하기도 한다.